Vragen en opdrachten

28. Beschouw de reeks . Noem S_n de som van de eerste n termen.
    
    a.     Toon aan dat S_n voldoet aan de recurrente betrekking .
    b.     Bepaal een uitdrukking in n voor S_n. Gebruik hierbij als particuliere oplossing

    en als randvoorwaarde S₁=1.
    c.     Bepaal .
     

29. Beschouw de oneindige reeks .
    Van twee opeenvolgende termen verschillen de noemers een oneven getal, en wel zo dat deze verschillen de oplopende reeks 3, 5, 7, 9, .... vormen.
    
    a.     Ga na dat de n-1^e term van deze reeks gelijk is aan .
    b.     Toon met Leibniz' methode van 'sommen van verschillen' aan dat de som van deze reeks gelijk is aan .
     
30.  

    Wanneer een kromme in een vlak omgewenteld wordt om een lijn dan beschrijft deze kromme een gebogen oppervlak, de mantel van een zogenaamd omwentelingslichaam. Hiernaast is zo'n manteloppervlak te zien, dat ontstaat als de grafiek van een functie f(x) om de x-as gewenteld wordt. Het vlakdeel V dat omsloten wordt door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x=a en x=b, vormt bij omwenteling een cilinderachtig lichaam.

    De inhoud van dit lichaam is te berekenen met een integraal, en wel met de bekende formule

a. Bereken de inhoud van de bol, die ontstaat als het vlakdeel onder de grafiek van   om de x-as gewenteld wordt.
Als het vlakdeel omsloten door de cirkel met vergelijking om de x-as gewenteld wordt ontstaat een zogenaamde torus. De inhoud hiervan kan in twee stappen worden berekend. > Eerst het vlakdeel omwentelen, zoals in de figuur a. hiernaast.
b. Toon aan dat voor de inhoud van dit omwentelingslichaam geldt: > Vervolgens de inhoud bepalen van het omwentelingslichaam dat ontstaat bij rotatie van het vlakdeel in figuur b. c. Bereken deze inhoud. d. Toon aan dat de inhoud van de torus gelijk is aan . e. De berekening had korter gekund. Hoe?

Nog korter kan het met de zogenaamde regel van Guldin.
 

Wanneer een vlakdeel, dat omsloten wordt door een of meerdere krommen, gewenteld wordt om een lijn die niet door het vlakdeel gaat, ontstaat een omwentelingslichaam. De inhoud hiervan is gelijk aan het product van de oppervlakte van het vlakdeel en de lengte van de omwentelingsbaan die het zwaartepunt van het vlakdeel beschrijft. De regel is genoemd naar de Zwitserse wiskundige Paul Guldin (1577-1643), maar komt al voor in de Synagoge van Pappus van Alexandrië (3eeeuw na Chr.).

f.     Laat met de regel van Guldin zien dat de inhoud van de torus van vraag d. inderdaad gelijk is aan.
g.     Bepaal met de regel van Guldin het zwaartepunt van het vlakdeel onder de halve cirkel in opgave a.

 

31. Met behulp van integreren kan men de oppervlakte onder de orthogonale hyperbool van x=1 tot oneindig bepalen. Deze blijkt oneindig groot te zijn. a. Bepaal de oneigenlijke integraal.
    Op een meer klassieke manier kunnen we het resultaat van a. ook als volgt afleiden. Beschouw hiertoe de oppervlakte van het gearceerde ingeschreven figuur. In getallen uitgedrukt is de oppervlakte gelijk aan:

            Deze oneindige reeks, ook wel de harmonische reeks genoemd, heeft onder meer de volgende eigenschap.
            Neem een willekeurige term, bijvoorbeeld . Neem nu de som van de twee termen, die op gelijke
            'afstand' links en rechts hiervan staan, bijvoorbeeld . Hiervoor geldt altijd .
    b.     Controleer dit ook voor .
            Een algemene regel hiervoor zou kunnen luiden:
    c.     Controleer de juistheid hiervan.
    
            Een andere eigenschap die meteen hieruit volgt, is de volgende. Neem de som van de 9 termen die symmetrisch
            om gegroepeerd staan: .

            De som hiervan is groter dan 1.
    
            Door nu de termen van de oneindige harmonische reeks in geschikt gekozen groepjes bij elkaar te nemen, is te
            bewijzen dat deze reeks divergent is.

    

            Voor de som van het eerste groepje geldt: .

            Zoals we reeds zagen geldt dit ook voor het tweede groepje.

d.     Laat zien dat een geschikte middelste term voor het derde groepje is.

e.     Wat zal een geschikte middelste term zijn voor het k^e groepje?
 

                Bovenstaande overwegingen zijn overtuigend genoeg om aan te nemen dat de reeks divergent is  ⁽⁷⁾. En
                aangezien dit betekent dat het oppervlak van de gearceerde ingeschreven veelhoek oneindig groot wordt als x
                naar oneindig gaat, blijkt het gevraagde oppervlak onder de orthogonale hyperbool ook oneindig groot te zijn.

        Dit was ook de conclusie van Evangelista Torricelli (1608-1647), evenals Cavalieri een leerling van
        Galilei. Torricelli is niet alleen als natuurkundige bekend (van die beroemde buis) maar hij heeft ook
        als wiskundige grote naam gemaakt, ondermeer op het gebied van oneindige reeksen en kwadraturen.
        Groot was Torricelli's verbazing toen hij op een dag in 1641 het volgende bemerkte. Neem het
        omwentelingslichaam dat ontstaat door het zojuist beschouwde oneindig grote hyperbooloppervlak te
        wentelen om de x-as. De inhoud hiervan blijkt eindig te zijn!

f.     Toon met de moderne integratiemethode aan dat de inhoud gelijk is aan .
       

Nu had Torricelli in die dagen nog niet de beschikking over Leibniz' integraalrekening. Maar hij had zich diepgaand bekwaamd in de meer klassieke methoden, de exhaustiemethode zoals toegepast door Archimedes en Cavalieri's werkwijze met indivisibiles.

Laten we zelf eens een poging wagen, zonder gebruik te maken van de integraalrekening.

Neem de omgeschreven veelhoek, zoals in de linker figuur en wentel die om de x-as. De inhoud van het nu verkregen omwentelingslichaam is in ieder geval groter dan de gevraagde inhoud.  > > > > > > > > > > > > > > > > >

       Voor de inhoud van de oneindige 'ketting' van cilindertjes geldt:

        g.     Toon dit aan.
        h.     Toon aan dat de reeks convergent is door hem te vergelijken met de reeks die
                Leibniz reeds in zijn vroegste wiskundige avonturen bestudeerd heeft of met de reeks uit opgave 29. 

De opzienbarende conclusie is dus inderdaad dat de inhoud van de beschouwde hyperboloïde eindig is.

   

Torricelli maakte op fraaie wijze gebruik van indivisibiles bij zijn bewijs. Beschouw de hyperbool vanaf het punt (½,2) tot oneindig. De hyperboloïde die door omwenteling ontstaat - ook wel de trompet van Torricelli genaamd -, kan men opgebouwd denken uit een oneindige som van manteloppervlakken van ingeschreven cilinders. In de figuur hiernaast is zo'n cilinder getekend, waarvan een zijvlak een willekeurig punt (x,y) met de hyperbool gemeen heeft. i.    Druk het manteloppervlak van deze cilinder uit in x en y, en laat zien dat het gelijk is aan .

Aangezien het punt (x,y) willekeurig op de hyperbool genomen is, is het manteloppervlak van iedere willekeurig ingeschreven cilinder hieraan gelijk. Zodoende kan de trompet beschouwd worden als de oneindige som van even grote manteloppervlakken.

Torricelli vergeleek nu de trompet met een cilinder (in de figuur links van de y-as). Deze cilinder is opgebouwd uit cirkeloppervlakken. Ieder cirkeloppervlak correspondeert met een manteloppervlak van de trompet.

j.   Wat is de straal van zo'n cirkeloppervlak? Wat is de hoogte van deze cilinder?

De inhoud van de cilinder is nu volgens het ut-unum principe gelijk aan die van de trompet.

k.   Bereken de inhoud van de trompet.
 

32.  De raaklijn l in x=a aan de grafiek van een willekeurige functie f(x) snijdt de x-as in Q.

    a. Ga na: de vergelijking van l is b. Toon aan: .

 

Definiëren we nu een nieuwe kromme als volgt. Vanuit Q trekken we een horizontale lijn. Deze snijdt de lijn x=a in punt S. S ligt op de grafiek van g(x). Bij iedere hoort nu een soortgelijk punt S en al deze punten S vormen samen de kromme g. c. Toon aan: d. Bewijs dat f en g elkaar snijden op de y-as.

Een dergelijk paar krommen f en g heeft Leibniz gebruikt in een stelling, die de naam transformatie-stelling heeft gekregen. Deze stelling behoort tot zijn vroegere werk, uit de tijd dat hij oppervlakten nog beschouwt in termen van kwadraturen.

Hij maakt daarbij gebruik van een klein rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden dx en dy en schuine zijde ds, ook wel de karakteristieke driehoek genoemd. Dit driehoekje werd al door Pascal gebruikt om op kleine schaal de hellingen van krommen mee te onderzoeken.
In de figuur hiernaast is ds bij benadering een stukje van de kromme f in de buurt van het punt x=a. De lijn door ds is dus bij benadering de raaklijn in x=a. Trek OP loodrecht op l. Nu geldt e. Ga dit na.
Uit (2) volgt: OQ.dx = OP.ds Met andere woorden de oppervlakte van driehoek I is de helft van de oppervlakte van rechthoek II (zie figuur hiernaast). Nemen we driehoekje I en rechthoekje II infinitesimaal klein, als een soort indivisibiles, dan geldt in 'omnes'-verband tussen x=a en x=b: Zie de figuren hieronder.
Enig knippen en plakken met vlak III levert:   In integraalnotatie:

Tezamen met uitdrukking (3) komen we dan tot de transformatiestelling:

f.     Toon dit aan.

g.     Ga met behulp van uitdrukking (1) na dat deze stelling neerkomt op een vorm van partieel integreren.

h.     Waarom zal deze stelling de transformatiestelling heten? Wat wordt er getransformeerd?

        In Appendix II zal nog worden ingegaan op een toepassing door Leibniz van deze stelling.

 

 

33. Bij enkele differentiaalvergelijkingen kan de oplossing gevonden worden met behulp van integreren. Een voorbeeld: .
    Wanneer we deze vergelijking herschrijven tot dan kunnen we linker- en rechterlid integreren.

    Dit levert:

    Met de voorwaarde y(0)=1 wordt de oplossing nu: .

Bij het herschrijven van de differentiaalvergelijking zijn de variabelen gescheiden: alle uitdrukkingen met y naar links en alles met x naar rechts.

Beschouw de volgende differentiaalvergelijkingen:

a.     Van welke vergelijking zijn de variabelen te scheiden? Geef van ieder de oplossing voor het geval dat
         y(0)=1.

        De vergelijking heeft bijzondere oplossingskrommen in het XY-vlak.
b.     Ga na wat de vorm van deze krommen is.

Een aantal groeimodellen zijn met differentiaalvergelijkingen te beschrijven. Laten we als voorbeeld de groei bekijken van een populatie bacteriën in een kweekbakje. Noem het aantal bacteriën op een zeker tijdstip t A(t). In het model gaan we er vanuit dat de relatieve groei van het aantal bacteriën constant is bij voedsel in overvloed, dus . De invloed van andere factoren, zoals temperatuur, licht en zuurgraad, wordt buiten beschouwing gelaten.

 

In de beperkte ruimte van de kweekbak geldt voor de relatieve groei van het aantal bacteriën:

c.     Interpreteer deze differentiaalvergelijking in termen van groeisnelheid. Let met name op de betekenis
        van de term -0,0012.A(t) .

d.     Los de vergelijking op voor het geval dat A(0)=250 en schets de oplossingskromme.

e.     Bij welk aantal bacteriën is er geen sprake van groei?

 

---

⁷. In de Middeleeuwen had de Italiaan Nicole Oresme (1323-1382) dit al op soortgelijke gronden aangetoond. (terug)