Vragen en opdrachten

 

  1. De tekenregel van Descartes, afkomstig uit zijn werk La Géométrie, zegt het volgende:

    We kunnen het aantal ware (= positieve) en oneigenlijke (= negatieve) oplossingen van een willekeurige vergelijking als volgt vinden: Een vergelijking heeft evenveel ware oplossingen als hij tekenwisselingen bevat van + naar - of van - naar + ; en evenveel oneigenlijke oplossingen als het aantal keren dat twee + tekens of twee - tekens opeenvolgend in de vergelijking staan.

    Voorwaarde voor deze regel is wel dat in de vergelijking de term met de hoogste graad voorop staat en vervolgens de termen in aflopende graad.

  2. Hoeveel positieve oplossingen heeft de vergelijking x2 - x - 6 = 0 volgens de tekenregel? En hoeveel heeft de vergelijking x3 + 6x2 + 21x = 64 er?

  3. Laat zien dat Cardano's regel met betrekking tot het aantal positieve oplossingen van een vergelijking een bijzonder geval is van Descartes' tekenregel.

  4. Hoeveel positieve oplossingen heeft de vergelijking x2 - x + 6 = 0 volgens de tekenregel(!)?

    Blijkbaar beschouwde Descartes de oplossingen van deze vergelijking als positieve oplossingen. Hij noemde ze overigens racines imaginaires, we komen daar later op terug.
     

  5. Het oplossen van een derdegraads vergelijking bestaat grofweg uit twee stappen:

    I. Aanvullen tot een kubus. Dit geeft een vergelijking waarin de term van de tweede graad verdwenen is, zoals y3 + py = q.

    II. Een slimme substitutie. Vervang in de vergelijking y3 + py = q de variabele y door het verschil u-v , waarbij 3uv=p. De zesdegraads vergelijking die dan ontstaat is op te lossen als een tweedegraads vergelijking.

     

    Pas deze twee stappen toe om de volgende drie derdegraads vergelijkingen op te lossen.

    Tracht aan te geven waar en waarom deze methode fout loopt bij opgave c.


     

  6. Laten we de slimme substitutie eens toepassen op de meer algemene vergelijking x3 + px = q. We gebruiken in plaats van de variabele x het verschil u-v.

    Toon aan:

    a.  Er moet gelden .

    b.  Substitutie levert: u3 - v3 = q ........ (1)

    c.  Overgaan op alleen de variabele u levert: .

    d.  Dit levert voor u3 als oplossing: en aangezien het geheel meetkundig beschouwd wordt mag het - teken net zo goed weggelaten worden, dus

    e.  Als we in vergelijking (1) alleen overgaan op de variabele v dan krijgen we op dezelfde wijze:

    f.  Dit levert de uiteindelijke oplossing voor x: